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Teorema 1. (Algoritmo da Divisão) Para quaisquer inteiros positivos a e b, existe um único par (q, r) de inteiros não negativos tais que b = aq + r e r < a. Os números q e r são chamados de quociente e resto, respectivamente, da divisão de b por a.
Exemplo 2. Encontre um número natural N que, ao ser dividido por 10, deixa resto 9, ao ser dividido por 9 deixa resto 8, e ao ser dividido por 8 deixa resto 7.
O que acontece ao somarmos 1 ao nosso número? Ele passa a deixar resto 0 na divisão por 10, 9 e 8. Assim, um possível valor para N é 10 ·9 ·8 − 1.
Exemplo 3. a) Verifique que an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + ... + a + 1)
b) Calcule o resto da divisão de 42012 por 3.Para o item a), usando a distributividade e efetuando os devidos cancelamentos no lado direito, podemos escrever:
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Para o item b), veja que 3 = 4 − 1 e assim é natural substituir os valores dados na expressão do primeiro item:
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Isso significa que q = (42011 + ... + 4 + 1) e que r = 1.
Observação 4. O teorema anterior admite um enunciado mais geral: Para quaisquer inteiros a e b, com a ≠ 0, existe um único par de inteiros (q, r) tais que b = aq + r, 0 ≤ r < |a|. Por exemplo, o resto da divisão de -7 por -3 é 2 e o quociente é 3.
Iremos agora estudar propriedades a respeito das operações com restos.
Teorema 5. (Teorema dos Restos) Se b1 e b2 deixam restos r1 e r2 na divisão por a, respectivamente, então:
Demonstração. Por hipótese, existem q1, q2 e q tais que: b1 = aq1 + r1, b2 = aq2 + r2 e r1 + r2 = aq + r, logo:
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Como 0 < r < |a|, b1 + b2 deixa resto r quando dividido por a. A demonstração para o produto é deixada ao cargo do leitor.
Observação 6. Em alguns casos, é preferível que o professor faça uma demonstração do resultado anterior para a = 3 ou a = 5 apenas com o intuito de deixar os alunos mais confortáveis a respeito do resultado. É preferível que mais tempo seja gasto resolvendo exemplos e problemas. Na seção de congruências, os alunos terão um contato mais apropriado com o enunciado anterior.
Exemplo 7. Qual o resto que o número 1002 ·1003 ·1004 deixa quando dividido por 7?
Como 1002 deixa resto 1 por 7, o número acima deixa o mesmo resto que 1 ·2 ·3 = 6 por 7.
Exemplo 8. Qual o resto que o número 45000 deixa quando dividido por 3?
Como 4 deixa resto 1 por 3, 45000 deixa o mesmo resto que 1 ·1 …15000 = 1 por 3.
Exemplo 9. Qual o resto que o número 22k+1 deixa quando dividido por 3?
Note que 20 deixa resto 1 por 3, 21 deixa resto 2 por 3, 22 deixa resto 1 por 3, 23 deixa resto 2 por 3, 24 deixa resto 1 por 3. Precebeu alguma coisa? Como 100 é par, o resto deverá ser 1. Como 22 deixa resto 1, então 22k = 22 ·22 ·... ·22k deixa o mesmo resto que 1 ·1 ·... ·1k = 1 e 22k+1 = 22k ·2 deixa o mesmo resto que 1 ·2 = 2 por 3.
Exemplo 10. Qual o resto de n3 + 2n na divisão por 3?
Se o resto de n por 3 é r, o resto de n3 + 2n é o mesmo de r3 + 2r. Para r = 0, esse resto seria 0. Para r = 1, seria o mesmo resto de 3 que é 0. Finalmente, para r = 2, o resto seria o mesmo de 8 + 4 = 12 que também é 0. Assim, não importa qual o resto de n por 3, o número n3 + 2n sempre deixará resto 0. Uma ideia importante nessa solução foi dividí-la em casos. Também poderíamos ter resolvido esse exemplo apelando para alguma fatoração:
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Como n − 1, n e n + 1 são consecutivos, um deles é múltiplo de 3. Assim, o último termo da igualdade anterior é a soma de dois múltiplos de 3 e consequentemente o resto procurado é 0.
Observação 11. Fatorações podem ser muito úteis para encontrarmos os valores explícitos de q e r.
Exemplo 12. Prove que, para cada n natural,
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Para cada número natural k no produto escrito no denominador, temos uma aparição de 2k no produto escrito no numerador. Basta efetuarmos os cancelamentos obtendo:
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Exemplo 13. (Olimpíada de Leningrado 1991) Cada um dos naturais a, b, c e d é divisível por ab − cd, que também é um número natural. Prove que ab − cd = 1.
Se chamarmos p = ab − cd, teremos a = px, b = py, c = pz e d = pt onde x, y, z e t são inteiros. Assim, p = p2(xy − zt). Consequentemente 1 = p(xy − zt) e concluímos que p = 1, pois p é natural.
Exemplo 14. A soma digital D(n) de um inteiro positivo n é definida recursivamente como segue:
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onde a0, a1, ... , am são todos os dígitos da expressão decimal de n na base 10, i.e.,
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Por exemplo, D(989) = D(26) = D(8) = 8. Prove que: D((1234)n) = D(n), para n = 1, 2, 3 ...
Como 10n − 1n = (10 − 1)(10n−1 + 10n−2 + ... + 1), podemos concluir que 10n sempre deixa resto 1 na divisão por 9. Assim, n = am10m + am−110m−1 + ... + a110 + a0, deixa o mesmo resto que am + am−1 + ... + a0 na divisão por 9. Desse modo, D(n) nada mais é do que o resto na divisão por 9 do número n. Como 1234 deixa resto 1 por 9, o número (1234)n deixa o mesmo resto que 1 ·n por 9, ou seja, D((1234)n) = D(n).
Observação 15. O exemplo anterior contém o critério de divisibilidade por 9, i.e., n deixa o mesmo resto que D(n) na divisão por 9. O critério de divisibilidade por 3 é análogo pois 10n também sempre deixa resto 1 por 3.
Exemplo 16. Encontre todos os pares de inteiros positivos a e b tais que 79 = ab + 2a + 3b.
Fatoremos a expressão anterior. Somando 6 aos dois lados da equação, obtemos:
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Assim, (3 + a) e (2 + b) são divisores positivos de 85 maiores que 1. Os únicos divisores positivos de 85 são 1, 5, 17, 85. Logo, os possíveis pares de valores para (3 + a, 2 + b) são (5, 17) ou (17, 5) que produzem as soluções (a, b) = (2, 15) e (14, 3).
Problema 17. (Olimpíada Russa) Prove que se [(2n − 2)/n] é um inteiro, então [(22n − 1−2)/(2n−1)] também é um inteiro.
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Problema 18. Encontre os inteiros que, na divisão por 7, deixam um quociente igual ao resto.
Problema 19. Determinar os números que divididos por 17 dão um resto igual ao quadrado do quociente correspondente.
Problema 20. (OCM 1985) Encontre o quociente da divisão de a128 − b128 por
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Problema 21. (OCM 1994) Seja A = 777 ... 77 um número onde o dígito "7" aparece 1001 vezes. Determinar o quociente e o resto da divisão de A por 1001.
Problema 22. Encontre um inteiro que deixa resto 4 na divisão por 5 e resto 7 na divisão por 13.
Problema 23. Encontre o menor inteiro que, dividido por 29 deixa resto 5, e dividido por 31 dá resto 28.
Problema 24. Prove que, para todo inteiro positivo n o número n5 − 5n3 + 4n é divisível por 120.
Problema 25. (Fatorações Importantes)
a) Seja S = 1 + z + z2 + z3 + ... + zn−1. Veja que S + zn = 1 + zS então S(z − 1) = zn − 1.
Conclua que, para quaisquer x e y vale:
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b) Mostre que se n é ímpar vale:
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Problema 26. Prove que, o número 199 + 299 + 399 + 499 + 599 é múltiplo de 5.
Problema 27. Mostre que o número 1n + 8n − 3n − 6n é múltiplo de 10 para todo natural n.
Problema 28. Encontre o resto da divisão 3710 − 1 por 11.
Problema 29. Prove que 22225555 + 55552222 é divisível por 7.
Problema 30. Encontre o último dígito do número 19891989.
Problema 31. Mostre que se n divide a então 2n − 1 divide 2a − 1.
Problema 32. (Cone Sul 1996) Provar que o número
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Problema 33. Mostre que para n ímpar, n divide 1n + 2n + ... + (n − 1)n
Problema 34. Existe um natural n tal que nn + (n + 1)n é divisível por 2011?
Problema 35. Quantos números inteiros positivos n existem tais que n + 3 divide n2 + 7?
Problema 36. Encontre o número de inteiros n tais que
Problema 37. Sejam m e n naturais tais que mn + 1 é múltiplo de 24, mostre que m + n também é múltiplo de 24.
Problema 38. (Irlanda 1997) Encontre todos os pares de inteiros (x, y) tais que 1 + 1996x + 1998y = xy.
18. Os números são 0, 8, 16, 24, ... , 8 · 7.
19. Escreva n = 17q + q2 e note que 0 ≤ q2 < 17. Assim, q = 0, 1, 2, 3, 4.
20. Use a diferença de quadrados sucessivas vezes para obter (a − b) como quociente.
21. O número do problema é igual a [(7(101001−1))/9]. Além disso, [(10999+1)/(103+1)] é inteiro e [(101001−1)/(103+1)] = 100 ·[(10999+1)/(103+1)] − [100/(103+1)]
22. Os números que satisfazem essa propriedade são os números da forma 65k + 59.
24. Basta mostrar que n5 − 5n3 + 4n é múltiplo de 3, 8 e 5. Na divisão por 5, temos quatro restos possíveis: 0, 1, 2, 3, 4. Assim, o número n5 − 5n3 + 4n possui o mesmo resto na divisão por 5 que um dos cinco números: 05 − 5 ·03 + 40, 15 − 5 ·13 + 4, 25 − 5 ·23 + 8, 35 − 5 ·33 + 12, 45 − 5 ·43 + 16. Como todos esses números são múltiplos de 5, segue que n5 − 5n3 + 4n é múltiplo de 5 para todo n inteiro. O procedimento com 3 e 8 é semelhante.
25. Para o item a), troque z por [x/y]. Para o item b), substitua y por −y no item anterior.
26. Pelo problema anterior, como 99 é ímpar temos: 199 + 499 = (1 + 4)(198 + 197 ·4 + ... + 1 ·497 + 498). Daí, segue que 199 + 499 é múltiplo de 5. Analogamente podemos mostrar que 299 + 399 é múltiplo de 5.
27. O número em questão é mútiplo de 2 pois é a soma de dois ímpares e dois pares. Para ver que também é múltiplo de 5, basta notar que 5 divide 1n − 6n e 8n − 3n. Isso pode ser facilmente mostrado usando a fatoração do exercício 25.
31. Se a = nk, temos (2n − 1)(2n(k−1) + 2n(k−2) + ... + 2n + 1) = 2nk − 1.
32. Veja que 1995 ·19971996 − 1996 ·19971995 + 1 = 1995 ·(19971996 − 1) − 1996 ·(19971995 − 1). Pela fatoração de xn − yn,
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é inteiro. Além disso, pela mesma fatoração,
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é uma soma de números inteiros.
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34. Faça n = 1005 e use a fatoração de xn + yn.
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Os divisores de 19972 são {± 1, ± 1997, ± 19972}. Resolvendo os sistemas correspondentes à essas possibilidades, temos: (x, y) = (1999, 19972 + 1996), (1997, −19972 + 1996), (3995, 3993), (1, −1), (19972 + 1998, 1997), (−19972 + 1998, 1995).